平滑性约束下的全局优化项：

$E(d)=\sum_{p\in V}U_p(d_p)+\sum_{(p,q)\in \epsilon} B_{pq}(d_p,d_q)$

这是个整形优化问题。对于一般的二次伪布尔优化

$E(x)=\sum E(x_i) + \sum E(x_i,x_j)=\sum a_i x_i + \sum b_{ij}x_ix_j=\sum_{i\in P}p_ix_i-\sum_{i\in N}p_i\overline{x}_i-\sum b_{ij}x_i\overline{x}_j$

其中 $x\in \{0,1\},\overline{x}=1-x,P=\{i|p_i>0\},N=\{i|p_i\le 0\}$ ，令

$\epsilon=\{(s,x_i;-p_i)|i\in N\}\cup \{(x_i,t;p_i)|i\in P\} \cup \{(x_i,x_j;-b_{ij})\}$

构建网络流，最小割即为最小能量。我们可以把整形优化转化为伪布尔优化，比如截断令

$d^K= \begin{equation} \begin{cases} 0,d<K\\ 1,d\ge K \end{cases} \end{equation}$

那么 $d=\sum d^i$ ，但这么做得到的能量式不一定符合子模性，我们利用迭代法来优化该整形，设中间迭代状态y有优化

$E(y)=\sum E(y_i)+ \sum E(y_i,y_j)$

定义一次移动为

$y_i= \begin{equation} \begin{cases} \alpha,i==j\\ x_i,otherwise \end{cases} \end{equation}$

变为优化子模块 $E(y_i|x_{D-i})$ ，还可以有其他移动法，如 $\alpha$ 扩展

$y_i= \begin{equation} \begin{cases} \alpha,x_i==\alpha \\ x_i/\alpha,otherwise \end{cases} \end{equation}$

$\alpha\beta$ 交换

$y_i= \begin{equation} \begin{cases} \alpha/\beta,x_i==\beta/\alpha \\ x_i,otherwise \end{cases} \end{equation}$

$\alpha$ 扩展 $\beta$ 收缩

$y_i= \begin{equation} \begin{cases} \alpha/\beta,x_i==\alpha \\ \alpha/x_i,otherwise \end{cases} \end{equation}$

stereo matching

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